|
|
Annotation on "incompositi"
incompositi Compositio in singulis, comparatio in multis consideratur numeris. Ita {sic, Rem: Item} compositio in illis numeris qui nihil duabus {sic, Rem: nihil duabus] duobus} aut tribus aut maioribus partibus constat {sic, lege constant}; comparatio vero et {add. in} his qui componuntur et {add. in} his qui non conponuntur inveniuntur {sic, lege invenitur}. Item comparationis tres sunt forme: prima a maiore ad minus, {the second form is missing, cf. Rem: secunda a minori ad maius}, tertia ab equalibus. Compositio vero infinita est propter multitudinem membrorum. {cf. Rem. 406.10}
|
Annotation on "Si duo numeri inter se compositi sunt."
Si duo numeri inter se compositi sunt. Compositi inter se numeri sunt qui communem mensuram propter {sic, sed lege praeter?} singularitatem habent, i. qui unum numerum habent quo et maior et minor mensurari possint. Si vero minor numerus inveniatur una quedam pars maioris numeri, ipse minor cum maiore non componitur, ut sunt iiii. et viiii. {sic, lege viii.}: inter se componuntur, quia unam mensuram habent in binarium. Binarius enim bis quaternario {lege -ium}, quater octonario {lege -ium} metitur. Aut vero binarius et quaternarius inter se compositi sunt, quia binarius una pars est quaternarii. Nec una mensura communis utriusque numeri invenitur. Omnes ergo numeri habentes communem mensuram inter se compositi vocantur. Qui vero non habent minimi numeri ex his inter se incompositi sunt. Hoc est quod dicit omnium numerorum sub eadem proportione crescentium. {the gloss continues with an explanation of 'minimi numeri', but this actually belongs to De nuptiis §783.3}
|
Annotation on "qui supra"
qui supra s. erunt
|
Annotation on "neque cum iii. componi possunt"
neque cum iii. componi possunt male degeneravit filius illorum
|
Annotation on "hii"
hii xxxii.
|
Annotation on "a se"
a se ipso
|
Annotation on "incompositus est"
incompositus est sed componitur a minore. Sicut novenarius: non componitur a se, sed a ternario.
|
Annotation on "Ergo"
Ergo quia ternarius mensura est novenarii
|
Annotation on "componuntur"
componuntur Inter compositionem et comparationem hoc interest, quod comparatio equalium, compositio inequalium, i. nisi aliquam mensuram minoris communem maioris numeri habuerint, quam etiam componi cum ipsis minoris non potuit.
|
Annotation on "in quo"
in quocumque
|
Annotation on "numero"
numero minori
|
Annotation on "quid eius"
quid eius aliquid minoris
|
Annotation on "non habebunt"
non habebunt s. unde mensurari maioris possunt maiores
|
Annotation on "eo"
eo minori
|
Annotation on "componi"
componi Compositio in singulis, comparatio in multis consideratur numeris.
|
Annotation on "si iii."
si iii. termini
|
Annotation on "et"
et s. ab
|
Annotation on "omnibus"
omnibus non ab alienis
|
Annotation on "ex his ii."
ex his ii. s. sint iuncti
|
Annotation on "insequens"
insequens duodenarius
|
Annotation on "supertercius"
supertercius sesquitertius
|
Annotation on "Nec ulli iii. minores ii. iuncti repe-
rientur."
Nec ulli iii. minores ii. iuncti repe- rientur. s. reperiantur quam novenarius et denarius {sic, lege duodenarius} et xvi. antequam isti in ista proportione sesquitertia
|
Annotation on "repe-
rientur."
repe- rientur. s. in hac ratione. s. Ratione sesqualtera vel sequitertia
|
Annotation on "in unum"
in unum iunguntur
|
Annotation on "cum alico"
cum alico pari aut impari
|
Annotation on "si impar numerus cum alico componi"
si impar numerus cum alico componi iiii. et iii. sesquitertius est
|
Annotation on "componi"
componi illi v.
|
Annotation on "componi cum alterutro insequentium potest."
componi cum alterutro insequentium potest. i. nec iiii. cum v. nec viii. cum vii. nec iiii. cum v. nec iiii. cum vii.
|
Annotation on "ex his qui sub eadem ratio-
ne sunt"
ex his qui sub eadem ratio- ne sunt s. sesqualtera sive sesquitertia
|
Annotation on "i."
i. {u}num
|
Annotation on "dimidio."
dimidio. maiorum i. cc.orum medietate
|
Annotation on "Neque id esse inter ullos minores numeros potest."
Neque id esse inter ullos minores numeros potest. Videlicet ut tot partibus antecedat numerus numerum. Quia nullus maior numerus habet tot partes.
|
Annotation on "Cum vero mensurae ratio efficiat."
Cum vero mensurae ratio efficiat. Que proportio est inter duo et unum, hoc est similis inter c. et cc. Incompositi sunt inter se.
|
Annotation on "ut quidam per se incompositi. incompositi-
ve. quidam inter se incompositi. compositive sint."
ut quidam per se incompositi. incompositi- ve. quidam inter se incompositi. compositive sint. Recapitulatio iiii. generum.
|
Annotation on "non alienum"
non alienum non extraneum
|
Annotation on "subicere"
subicere ratione mensurarum
|
Annotation on "compositus est."
compositus est. ut novenarius et duodenarius
|
Annotation on "incompositus"
incompositus sicut ternarius
|
Annotation on "composito"
composito ut novenarius et duodenarius
|
Annotation on "ut iii. v."
ut iii. v. per se incompositi
|
Annotation on "quidem eo componitur"
quidem eo componitur pari vel impari
|
Annotation on "Minimi numeri"
Minimi numeri {The gloss added to 'Si duo numeri inter se compositi sunt' and this gloss are written as a continuous text. The new lemma, mimini numeri, is not set apart.} Minimi numeri, i. qui primi ponuntur, inter se incompositi sunt. Sed haec ratio facillime patet in superparticulari genere, in multiplici vero subtilius consideratur. Verbi gratia omnium numerorum sesqualtera {sic, sed Rem: subsesqualtera} ratione degentium minimi numeri inter se compositi {sic, lege incompositi} sunt, i. ternarius et binarius. Nullam enim communem mensuram habent sic hi qui tertia {sic, sed lege sic hi qui tertia] sesquitertia} proportione minimi sunt quaternarius et ternarius, que nullam mensuram communem habent. Simili modo in omnis superparticulari considerandum est. Videamus in multiplici. Minimi sunt in dupla proportione, quatuor et duo, qui inter se incompositi sunt, qui {lege quia} binarius una pars maioris numeri est, i. quaternarii, nec communem mensuram habet qua {sic, lege quae} possit inveniri in duobus et in quaternario. In tripla proportione minimi sunt vi. et ii., quorum nulla communis mensura invenitur. Binarius namque tertia pars senarii est nec ulla pars in senario potest metiri binarium nec binarii poterunt metiri senarius, ideoque omnes minimi numeri multiplicium {sic, lege multiplici vero} proportione inter se incompositi inveniuntur. {cf. Rem. 407.16.2. The gloss continues but this actually explains a new lemma: 'sub eadem ratione sint cc. et c.'}
|
Annotation on "sint cc. et c.
"
sint cc. et c. In his duobus numeris, i. cc. et c., cum totius consideratio est sine partium differentia nihil aliud intellegitur nisi ratio sola primi, dupli, omnium numerorum, i. binarii, qui duplus est unitatis. In illis enim nihil plus queritur nisi quod duo dupla ad unitatem proportione iungantur et quod unum et duo inter se incompositi sunt. Simili modo cc. ad c. sine consideratione partium duplo sunt et inter se incompositi sunt. Si vero volueris rationem partium in illis invenire et minores {sic, lege minimos} esse incoantis ab eis rationis, adde minimam maioras numeri partem minori numero, i. cc. ducentesimam, centenario qui in uno invenitur, et postea maiorem et minorem numerum compara secundum partium rationem, i. cc. et c. et i. {lege: cc. et c. et c. et i.} Et videbis maiorem superare {add. minorem (cf. Rem. 408.2)} i. binarii dimidio maioris et xcviiii. partibus ipsius dimidii, que ratio inter hos duos numeros primo {cf. Rem: multiplex} nascitur. Ideoque minimi eiusdem rationis vocantur {this gloss seems unfinished and continues in Remigius: cc. et c. Ducenti sic sunt quasi duo monades, et c. quasi monas, ideo non habent rationem membrorum, habent autem rationem partium quia superant cc., c. 'uno et dimidio et xcviiii. partibus.' Cf. Rem. 408.2.}
|
Annotation on "eadem ratione"
eadem ratione ut una sit proportio
|
Annotation on "v. et vii. fiunt xii."
v. et vii. fiunt xii. Neuter ex prioribus componi cum altero in sequentium potest. Confundantur in unum iiii. et viii.
|